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行列についての勉強①

2023年5月8日 6:58 PM0180数学勉強数学行列

今更だけど、行列についてしっかりと勉強したいと思い、記事を作成することにしました。
尚ここに書かれている事は、ほとんど文部科学省のサイトにあった行列入門を参考にしているので、興味を持たれた方はそちらのpdfファイルを読むことをお勧めします。
(結構なボリュームがあって大変ですが)

行列とは

行列とは数や文字、数式などを格子状の長方形に並べて、全体を括弧で括ったもの。

例えばこういうもの

行列の例①\( \begin{pmatrix} 12 & 15 & 7 \\ 6 & 33 & 56 \\ 33 & 0 & 21 \end{pmatrix} \)

下のようにアルファベットの大文字を用いて表されることが多い。

行列の例②\( A = \begin{pmatrix} 12 & 15 & 7 \\ 6 & 33 & 56 \\ 33 & 0 & 21 \end{pmatrix} \)

行列の構成要素

  • 中に書かれている数字それぞれを行列の成分という。 例えば、左からm番目、上からn番目の数値は(m, n)成分という言い方をする。
  • 縦の並びを列と言い、左からm番目の列を第m列 横の並びを行といい、上からn番目の行を第n行という言い方をする。
  • 行列の列の数、行の数によって行列の型が決まる。
  • 行列の行数がm、列数がnの場合、その行列をm行n列の行列またはm x n型と呼ぶ。
  • 行数と列数が等しい行列を正方行列と呼び、行・列の数がnの場合n次正方行列と呼ぶ。
行列の行・列・成分

ベクトル

行列の中で縦１列もしくは横１行だけのものをベクトルと呼ぶ。

  • 横一列のものを行ベクトルと呼ぶ
  • 縦一列のものを列ベクトルと呼ぶ

行列の演算

行列同士、もしくは行列と数値との演算について。

行列の比較

異なる２つの行列が、同じ型であり、かつ、全ての要素が一致している場合、その２つの行列は等しいと言え、「＝」で繋ぐことができる。

行列が等しい例\( \begin{pmatrix} 12 & 15 & 7 \\ 6 & 33 & 56 \\ 33 & 0 & 21 \end{pmatrix} \) ＝ \( \begin{pmatrix} 12 & 15 & 7 \\ 6 & 33 & 56 \\ 33 & 0 & 21 \end{pmatrix} \)
行列が等しくない例\( \begin{pmatrix} 12 & 15 & 7 \\ 6 & 33 & 56 \\ 33 & 0 & 21 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & 0 & 10 \\ 44 & 88 & 56 \\ 3 & 100 & 11 \end{pmatrix} \)  \( \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 33 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 12 & 6 & 33 \end{pmatrix} \)

定数倍

行列を定数倍すると、全ての要素にその値が掛け合わされる。

行列の定数倍\( k\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)\( = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33} \end{pmatrix}\)

行列に０をかけた場合、全ての要素が0になる。
これを0行列(ベクトルの場合は0ベクトル)と呼び、太字で\(\boldsymbol{0}\)と表される。

0行列\( 0 \times \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\)\( = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \boldsymbol{0}\)

行列の定数倍においては以下の公式が成り立つ。

  • \(0 \times A = \boldsymbol{0}\)
  • \(1 \times A = A\)
  • \(k\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}\)

加算・減算

同じ型同士の行列は加算が可能
行列の加算は各要素の和で表される。

行列の加算\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} \)\( = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{pmatrix}\)

行列の加減算については、以下の公式が成り立つ

  • \(A + B = B + A\)(和の交換法則)
  • \((A + B) + C = A + (B + C)\)(和の結合法則)
  • \(A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + A = A\)

ベクトルの積

行ベクトルと列ベクトルがあり、それぞれの次元が同じ場合、それらを掛け合わせることが出来る。
(逆に言えば、行ベクトル同士や、次元が違う場合はベクトル同士を掛け合わせることは出来ない)

ベクトルの積は、同次成分同士を掛け合わせたものの和で表され、単一の値となる。

ベクトル同士の積\( \begin{pmatrix} a & b & c \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)\( = ax + by + cz\)

行列の積

２つの行列ＡＢがあり、Ａの列数と、Ｂの行数が等しい時、２つの行列を掛け合わせることが出来る。

行列の積\(AB =\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{b2} \end{pmatrix} \)\(= \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{pmatrix}\)

結果の行列は、左側行列の行数 \(\times\) 右側行列の行数となる

これが何を意味しているかというと、行列はベクトルの複合要素であるとするならば、以下のように考える事ができる。

行列の行・列・成分

つまり、行列の掛け算は、左側の行列を行ベクトルの集合、右側の行列を列ベクトルの集合と捉えるとベクトルの掛け算の組み合わせであると考えることが出来る。

疲れたので、一旦ここまで。 続きはいつになるかわかりませんが、なるだけ作成しようと思います。

投稿者プロフィール

KARASU
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うーん いろいろ考え中。。。

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